Continuidad entre curvas: posición, tangencia y curvatura

Posición, tangencia y curvatura

Ningún trazado largo sale de una sola curva. Una fachada, el canto de una cubierta, una rampa: todos se componen de tramos que se encuentran, y cada encuentro es un punto débil en potencia.

Lo que pase ahí se hereda. Si dos curvas se encuentran mal, las superficies que generan se encuentran igual de mal, y el fallo —invisible en pantalla— reaparece en obra como una arista donde no debía o un reflejo roto que recorre la fachada entera.

La continuidad mide esos encuentros. No describe una curva: describe la relación entre dos, y admite tres niveles, cada uno con nombre propio y cada uno incluyendo al anterior.

La primera unión se ve: hay esquina, luego es G0. Las otras dos son el problema de esta guía, porque se ven idénticas. Las dos son suaves, las dos parecen resueltas, y sin embargo sobre una fachada de vidrio una produce una banda de reflejo y la otra no.

La diferencia está en la curvatura, y la curvatura no se ve en el alámbrico. Hace falta medirla.

Qué es la curvatura

En cada punto de una curva existe un círculo que la imita exactamente ahí: se llama círculo osculador. Donde la curva va abierta ese círculo es enorme; donde va cerrada, es pequeño. La curvatura es simplemente cuánto se cierra: la inversa de su radio.

κ = 1 / R. Un arco de 10 m de radio tiene curvatura 0,1. Uno de 2 m, curvatura 0,5: va cinco veces más cerrado. Una recta, que no se cierra nada, tiene curvatura cero.

Y hay una imagen perfecta para hacerla visible de un vistazo. Coge un peine de plástico y dóblalo: las púas se abren más donde más se dobla. El peine de curvatura es exactamente eso dibujado sobre la curva —una púa perpendicular en cada punto, más larga cuanto más cerrada va— y el perfil que trazan las puntas es la curvatura hecha dibujo.

En Rhino se enciende con CurvatureGraph y se queda pegado a la curva mientras la editas. A partir de aquí es la única herramienta que vamos a necesitar.

Con la magnitud definida, ya se puede leer. Volvemos al trazado del principio, ahora con el peine puesto.

Leer el peine

El mismo trazado, ahora con el peine. Y debajo, la curvatura otra vez, esta vez como gráfico corriente: el peine es esa curva enrollada sobre el trazado.

Ahora las tres uniones se distinguen sin discusión. En la de posición el perfil se parte y cambia de dirección. En la de tangencia no gira, pero salta de altura: la curva llega con un radio y sale con otro. En la de curvatura el perfil cruza la unión sin enterarse.

Ese salto es todo. En chapa mate nadie lo notará; en vidrio o en aluminio brillante es una banda de luz clavada en la junta.

Con el peine ya se lee cualquier unión. Vamos al caso más limpio y más común de todos, que además es el que más gente da por bueno: una recta que continúa en un arco.

El escalón invisible

El caso más limpio es también el más común: una recta que continúa en un arco tangente. Una marquesina, un bordillo, el arranque de una rampa.

A la izquierda, la unión directa. La tangencia es exacta —cero grados de quiebro— y sobre la línea no hay nada que ver. Pero la curvatura pasa de cero al valor del arco de golpe. Es G1 puro, y en chapa brillante ese escalón es una banda de luz.

A la derecha, un tramo intercalado cuya curvatura sube en rampa en vez de saltar. Es lo que hacen carreteras y ferrocarriles entre recta y curva para que el volante no gire de golpe, y tiene nombre propio: clotoide. En una fachada no hay volante, pero hay luz, y la luz reacciona igual.

Diagnosticar ya sabemos. Falta construirlo.

Construir la continuidad

La tangencia se puede construir a ojo, y la razón es una propiedad elegante de toda curva NURBS: en su extremo sale exactamente tangente al último segmento de su polígono de control. Si dos curvas comparten esa dirección de salida, comparten tangente.

Tres puntos, una recta. El penúltimo punto de la primera curva, el punto de unión y el segundo punto de la segunda deben caer sobre una misma recta.

La curvatura cuesta un punto más por rama y no tiene regla equivalente: hay que calcularla. El laboratorio deja tocar las tres condiciones sobre las mismas dos curvas, y los indicadores se miden de la geometría resultante en lugar de declararse.

En Sin unión, junta los extremos a mano: la separación nunca llega a cero, y en cuanto supere la tolerancia del documento la superficie saldrá abierta. En G1, el primer punto de la segunda curva sigue siendo tuyo pero solo desliza por la tangente. En G2, el segundo se suma y desliza por una paralela: arrástralo de un extremo al otro y fíjate en lo que no cambia, los dos radios de la unión.

G2 restringe sin clavar. La condición no fija los puntos en una posición única: los deja en una familia de soluciones. El contador de grados de libertad cuenta el precio —de ocho a seis, cinco y cuatro— y explica por qué una curva de cuatro puntos no puede dar G2 en sus dos extremos a la vez.

Diagnosticado el problema y entendido el precio, quedan las dos maneras de resolverlo. Y la diferencia no es de gusto.

Blend o Match

Hay dos maneras de arreglar una unión que no cumple. La diferencia no es de gusto: una añade geometría y la otra la modifica.

BlendCrv no toca nada: crea un tramo nuevo entre los dos extremos con el nivel que le pidas y lo empalma a ambos lados. Es lo que quieres cuando las dos curvas son datos del proyecto —dos alineaciones fijadas, dos tramos que vienen de otro archivo— y no puedes moverlas. Su precio es un objeto más en el modelo.

MatchCrv no añade nada: deforma una de las curvas hasta que cumple la condición contra la otra. Es lo que quieres cuando una de las dos es libre y prefieres no meter un tercer objeto. Su precio es que la curva cambia de forma, y en sus opciones conviene mirar dos: mantener el otro extremo, si esa curva ya está empalmada al otro lado, y promediar, que reparte la deformación entre las dos en lugar de cargarla toda en una.

Los deslizadores de BlendCrv son exactamente el margen que viste en el laboratorio: recorren la familia de soluciones G2 sin salirse de ella. Cambian la forma del tramo, no el nivel de continuidad.

Criterio de proyecto